5.11. La arquitectura de la música

Nuestra escala actual consta de 12 partes o semitonos iguales. ¿Porqué 12 y no 8, 35 ó 157? ¿Y por qué iguales? Son bien conocidas otras escalas como la pentáfona china, los 17 intervalos de la música árabe o los 22 s'rutis de la música hindú. Sin embargo, hay ciertas consonancias, como la octava, la quinta y su complementaria la cuarta, que parecen universales. El uso de terceras y sextas como consonancias parecen ser, por el contrario producto de la polifonía occidental. Hoy día sabemos, gracias a la generación de los armónicos descubiertos en el siglo XVIII, que existe una base natural en la apreciación natural de las consonancias. Sin embargo, como veremos, nuestra escala temperada no contiene ninguna consonancia pura.

En el Renacimiento, siguiendo la filosofía platónica de la música de las esferas, hubo mucho interés en comprender el origen aritmético y geométrico de las armonías musicales. Sin embargo se chocó con el irresoluble problema de la "quinta del lobo" (Pitágoras la denominó comma). Esa pequeña fracción, conocida ya por los antiguos, impide conciliar la música pitagórica basada en fracciones enteras y en los armónicos "naturales" (como se toca un violín, donde LAb no es exactamente igual a SOL#) con la música temperada, basada en la partición equilibrada de la octava en razones 12Ö2 (como se afina un piano, donde LAb y SOL# son la misma tecla negra).

Me temo que entender las sencillas formulas matemáticas que presentaremos a continuación nos obligará a dar algunas pequeñas nociones de armonía. Todo el que toque el violín (en el contrabajo es donde mejor se ve) sabe que está haciendo geometría con su mástil para tocar música. Si pone su mano izquierda en la mitad de la cuerda de MI, obtendrá la octava (MI2), en su tercera parte, la quinta (SI) y en su cuarta parte, la cuarta (LA). El resto de los intervalos son menos evidentes. Los intervalos son los resultados de dividir la longitud de la cuerda según el siguiente esquema:

	|--------|--------|--------X--------|	Dob.octava  4/1

	|-----------|-----------X-----------|	8ª+quinta   3/1
	
	|-----------------X-----------------|	Octava      2/1
	
	|-----------X-----------|-----------|	Quinta      3/2
	
	|--------X--------|--------|--------|	Cuarta      4/3
	.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
	0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12	(3-1-2-2-1-3)

A partir de aquí se puede operar de forma puramente numérica: una octava se compone de una quinta y una cuarta (2/1 = 3/2 x 4/3), o de dos cuartas más un tono (4/3 x 4/3 x 9/8 = 2/1), el tono es la diferencia entre quinta más cuarta (3/2 : 4/3 = 9/8), la tercera menor es la suma dos tonos (81/64 = 9/8 x 9/8), etc. Para sumar intervalos se multiplican su razones y para restar se dividen.

Sin embargo, en el piano no puede hacerse así, porque si no sólo podría tocarse en una clave concreta. Euclides demostró que ninguna de estas razones puede dividirse geométricamente en dos partes iguales, ya que el resultado es un número irracional (como a/x = x/b; a.b = x²; luego x valdría Ö2 en la octava, Ö6 en la quinta, Ö12 en la cuarta, etc.). Esta propiedad es la principal dificultad para cualquier teoría musical que intente dividir la escala en partes iguales. Matemáticamente, una octava tendría doce intervalos iguales, cuyo número de vibraciones estarían en la relación 1:2, es decir:

   an=a0·rn, que para 12 intervalos en la relación 2:1 sería 2=1·r12, de donde r = 12Ö2.

Por este problema, no siempre se han afinado igual los instrumentos. A lo largo de la historia se han usado varias afinaciones diferentes:

  • Afinación pitagórica: era la usada durante la Edad Media, basada en las quintas justas. Su éxito radicaba en las características monofónicas del canto gregoriano (monódico y diatónico), y en ser la única que exponía con todo detalle el latino Boecio. Se basa en la división geométrica de una cuerda de un instrumento musical en dos, tres y cuatro partes iguales. En la música pitagórica los intervalos (semitonos) nunca son iguales. Mientras que un tono (DO-RE) vale 9/8, un intervalo de quinta (DO-SOL) vale 3/2. Ello lleva a que seis tonos sobrepasan una octava en un pequeño intervalo o comma:
         (9/8)6 : (2/1) = 531441/524288 = 1'013
    este intervalo, aproximadamente 1/8 de tono, es el mismo que doce quintas justas sobrepasan a siete octavas, después de dar la vuelta al círculo de quintas:
         (3/2)12 : (2/1)7 = 531441/524288 = 1'013

  • Justa entonación: surgió en el Renacimiento (Ramos de Pareja en 1482, Fogliano en 1529, Zarlino en 1558, Salinas en 1577) por la necesidad polifónica de terceras y sextas justas, que la afinación pitagórica no ofrecía. Es una afinación con intervalos puros o naturales, basados en los armónicos naturales: octava 2/1, quinta 3/2, cuarta 4/3, tercera mayor justa 5/4 y tercera menor justa 6/5. Las sextas son complementarias de las terceras (2/1 : 5/4 = 8/5). Tras el descubrimiento de la naturaleza físico-ondulatoria de los armónicos se demostró su naturalidad, pese a demostrarse asímismo la imposibilidad de su uso para la práctica artística, lo que condujo a agrias polémicas por la aparente contradicción entre naturaleza y arte. En la práctica, la entonación justa nunca se aplicó a los instrumentos, debido a la imposibilidad de usar intervalos tan usuales como Re-La o Re-Fa. Sin embargo, la voz humana o el violín, debido a su versatibilidad, podía compensar sobre la marcha estos desajustes. Igual pasaba con instrumentos que admitían multitud de llaves, como el clarinete, pese a las dificultades técnicas y la incompatibilidad de los diversos sistemas, pero era inaplicable en los instrumentos de teclas o de trastes.

  • Temperamentos irregulares: son los típicos del barroco (i.e. el Clave bien temperado de Bach) que, sin tener intervalos iguales, permiten con sus circulos cerrados de quintas el uso de todas las tonalidades. «Temperar» es «arreglar» las consonancias de manera que se logre un equilibrio entre ellas: se desafinan ciertos intervalos en beneficio de otros, para que todos queden «convenientemente» desafinados.

  • Temperamento igual: impuesto en el siglo XIX, consiste en variar ligeramente la afinación de algunos intervalos para conseguir determinadas ventajas armónicas. En la práctica, las notas pitagóricas no eran suficientes, al ser necesario modificar el tono de una melodía, es decir tomar como nota fundamental o tónica una diferente del Do. Hemos visto como la interferencia de la comma pitagórica se había tornado en un problema irresoluble, al surgir gran cantidad de notas enármónicas (como Do#, Reb). En el temperamento igual, la octava se divide en 12 partes o semitonos iguales de razón 12Ö2 y las notas enarmónicas coinciden: Do# = Reb. Las quintas quedan ligeramente bajas y las terceras mayores muy altas, y por tanto lejos de los armónicos, como por otra parte ocurría en la afinación pitagórica. A cambio, permite tocar en los doce tonos, en los modos mayores y menores, con las mismas doce notas, cosa que no es posible con la escala armónica. No hay intervalos impracticables y la modulación entre tonos es sencilla. En la música occidental contemporánea se parte de un patrón de afinación, fijado en la Conferencia Internacional de Viena (1885), con un La3 de 435 Hz vibraciones por segundo, lo que da un Do3 de 258,6 Hz y un Do4 de 258'6 x 2 = 517'2 Hz. Las octavas se dividen en doce semitonos iguales. Cada semitono (DO-DO#) está en relación con el inmediatamente superior en razón 12Ö2, y cada tono (DO-RE) en el cuadrado de un semitono, es decir, en 6Ö2. Así, en la escala temperada los seis tonos coinciden con la octava, claro, por su propia definición:
         (6Ö2)6 : (2/1) = 1

    Griego Latino Intervalo Razón Notas
    Tono Sexquioctava Tono 9/8 Fa-Sol
    Diatesaron Sexquitercia 4/3 Do-Fa
    Diapente Sexquialtera 3/2 Do-Sol
    Diapason Dupla 2/1 Do-Do2
    Diapason-diapente Tripla 5+8ª 3/1 Do-Sol2
    Disdiapason Quadrupla 2x8ª 4/1 Do-Do3

    El timbre y los armónicos


    Tras el descubrimiento de la naturaleza física de los armónicos y de las paradojas matemáticas que resultan de la comma pitagórica, sabemos que las notas de la escala griega sólo producen armonías perfectas en el tono de la nota en que se ha afinado. Ello se debe al efecto de los armónicos que conforman el timbre de los instrumentos, ya que los cuerpos sonoros nunca ejecutan una vibración armónica (es decir, sinusoidal) pura, sino muy compleja. Puesto que se trata de una vibración periódica de frecuencia n determinada, según el teorema de Fournier, esta función puede descomponerse en:

       ¦(t) = a1sen(2πnt-Θ1)+a2sen(2πnt-Θ2)+a3sen(2πnt-Θ3) + ...

    Es decir, que "toda función periódica puede ser descompuesta en una suma de senos cuyos periodos son submúltiplos enteros del periodo de la función dada". Lo cual, dicho en términos musicales, significa que los instrumentos no emiten frecuencias puras, sino la nota principal y sus armónicos con diferentes intensidades. De esta manera, el timbre del sonido de un instrumento, depende de la naturaleza e intensidad de los armónicos que le acompañan, lo que nos permite diferenciar un violín de una flauta. Melde demostró con su sonómetro que dichos armónicos suenan simultáneamente en una cuerda, y que éstos pueden aislarse. En una guitarra es fácil comprobar que poniendo un dedo sobre el punto medio de la cuerda, sin apretarla contra el mástil, el sonido resultante es el del primer armónico (1/2, la octava), y así sucesivamente en su tercera parte (2/3, la quinta), en su cuarta parte (3/4, la cuarta), en su quinta parte (4/5, la 3ª mayor justa), etc., ya que estamos quitando el resto de los armónicos al anular las vibraciones periódicas cuyo nodo (punto de amplitud nula) no coincida con la posición del dedo. Tambien pueden suprimirse, pulsando exactamente en el punto de mayor amplitud del armónico que queremos suprimir, aunque esto es menos evidente, ya que sólo modificamos sutilmente el timbre del sonido.